线性代数是数一、数二、数三都考的科目,所以在考研数学中,线代是不容忽视的。

以下是线代六大考点及常考题型:
一、行列式

行列式在整张试卷中所占比例不是很大,一般以填空题、选择题为主,它是必考内容,不只是考察行列式的概念、性质、运算,与行列式有关的考题也不少。

例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式。

如果试卷中没有独立的行列式的试题,必然会在其他章、节的试题中得以体现。所以要熟练掌握行列式常用的计算方法。

1、重点内容:行列式计算

(1)降阶法
这是计算行列式的主要方法,即用展开定理将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再展开。

(2)特殊的行列式
有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三线型行列式、爪型行列式等等,必须熟练掌握相应的计算方法。

2、常见题型:
(1)数字型行列式的计算
(2)抽象行列式的计算
(3)含参数的行列式的计算
(4)代数余子式的线性组合

二、向量
向量部分既是重点又是难点,由于n维向量的抽象性及在逻辑推理上的较高要求,导致考生在学习理解上的困难。考生至少要梳理清楚知识点之间的关系,最好能独立证明相关结论。

1、重点内容:
(1)向量的线性表示:线性表示经常和方程组结合考察,特点,表面问一个向量可否由一组向量线性表示,其实本质需要转换成方程组的内容来解决,经常结合出大题。
(2)向量组的线性相关性:向量组的线性相关性是线性代数的重点,也是考研的重点。同学们一定要吃透向量组线性相关性的概念,熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用,还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系,从各个侧面加强对线性相关性的理解。
(3)向量组等价,要注意向量组等价与矩阵等价的区别。
(4)向量组的极大线性无关组和向量组的秩
(5)向量空间(数一)

2、常见题型:

(1)判定向量组的线性相关性
(2)向量组线性相关性的证明
(3)判定一个向量能否由一向量组线性表出
(4)向量组的秩和极大无关组的求法
(5)有关秩的证明
(6)有关矩阵与向量组等价的命题
(7)与向量空间有关的命题。

三、线性方程组

往年考题中,方程组出现的频率较高,几乎每年都有考题,也是线性代数部分考查的重点内容。

但也不会简单到仅考方程组的计算,还需灵活运用,比如2014年的线性代数第一道解答题,解矩阵方程,而且系数矩阵是不可逆的,这是考研以来第一次这样考,最后归结为求三个非齐次线性方程组通解。

1、重点内容:

(1)齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构
(2)齐次线性方程组基础解系的求解与证明
(3)齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论)。

2、常见题型:

(1)线性方程组的求解
(2)方程组解向量的判别及解的性质
(3)齐次线性方程组的基础解系
(4)非齐次线性方程组的通解结构
(5)两个方程组的公共解、同解问题

四、特征值与特征向量

特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大。

1、重点内容:

(1)特征值和特征向量的概念及计算
(2)方阵的相似对角化
(3)实对称矩阵的正交相似对角化

2、常见题型:

(1)数值矩阵的特征值和特征向量的求法
(2)抽象矩阵特征值和特征向量的求法
(3)矩阵相似的判定及逆问题(2014出大题)
(4)矩阵的相似对角化及逆问题
(5)由特征值或特征向量反求A
(6)有关实对称矩阵的问题


五、二次型

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题,可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。

1、重点内容:

(1)掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩和标准形等概念;
(2)了解二次型的规范形和惯性定理;
(3)掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;
(4)理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。

2、常见题型:

(1)二次型表成矩阵形式
(2)化二次型为标准形
(3)二次型正定性的判别


六、矩阵

矩阵是线性代数的核心,是后续各章的基础。矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。这部分考点较多。涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。

有些性质得证明必须能自己推导。这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题。

1、重点内容:

(1)矩阵的运算
(2)伴随矩阵
(3)可逆矩阵
(4)初等变换和初等矩阵
(5)矩阵的秩

2、常见题型:

(1)计算方阵的幂
(2)与伴随矩阵相关联的命题
(3)有关初等变换的命题
(4)有关逆矩阵的计算与证明
(5)解矩阵方程(2013年和2014年连续出大题,要重视)
(6)矩阵秩的计算和证明

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